«Римский додекаэдр» — древний мистический артефакт и его назначение

«Платоновы тела» — пять возможных в трехмерном пространстве правильных многогранников — изучают со времен античности, но даже сейчас математики узнают о них что-то новое. Американские ученые впервые доказали, что на додекаэдре существует замкнутый путь, начинающийся в одной из вершин и везде идущий по прямой, не заходя в другие вершины. О предыстории этой задачи, чем она интересна и как была решена, N + 1 рассказывает математик Виктор Клепцын.

Вопрос, на который отвечает работа американских математиков Джаядева Атрейи, Дэвида Аулисино и Патрика Хупера, формулируется чисто геометрически. Представьте себе планету в форме додекаэдра, в вершинах которой находятся дома живущих на ней математиков. Может ли один из них выйти из дома и  «по прямой» вернуться обратно,  не заходя в дома коллег? А если может, то как описать такой путь?

Конечно, сначала нужно уточнить, что означает «идти по прямой» на поверхности многогранника. 

  1. Можно сказать, что любой достаточно небольшой участок пути является кратчайшим (это — простейший случай геодезической линии).
image
«Прямой» путь по кубу на плоскости Виктор Клепцын

Математикам уже было известно, что на других правильных многогранниках — на тетраэдре, октаэдре, кубе и икосаэдре — таких траекторий нет. На рисунке ниже изображена одна «не работающая» попытка построить такую траекторию на кубе: на изображенной развертке точкам A и C соответствует одна и та же вершина куба, но двигаясь по прямой AC на кубе мы по пути наткнемся на другую вершину, B. Так будет всегда — при любой попытке пройти из одной вершины в неё же мы непременно пройдем и через какую-то другую вершину.

image
«Прямой» путь из точки А в точку С неизбежно проходит через В Виктор Клепцын

Для тетраэдра это несложно доказать. Если бы на правильном тетраэдре ABCD такая траектория — например, начинающаяся и заканчивающаяся в вершине A — существовала, можно было бы «прокатить» тетраэдр вдоль нее, перекатывая его с грани на грань по плоскости и «отпечатывая» каждую очередную грань. 

Сама траектория на плоскости тогда стала бы прямой (точно так же, как становятся прямыми «достроенные после отражения» лучи в школьной физике), а посещенные грани и соответствующие им вершины были бы частью решетки, изображенной на рисунке ниже. Но любой отрезок между одинаково помеченными вершинами там проходит через вершину с другой пометкой, просто из соображений четности. Так предположение о существовании такого пути на тетраэдре приходит к противоречию.

Виктор Клепцын

Для других правильных многогранников, впрочем, столь простым рассуждением обойтись не получится. Но отсутствие таких траекторий для октаэдра, куба и икосаэдра также было доказано — и лишь вопрос для додекаэдра оставался открытым.

«Кругосветка» по додекаэдру J. Athreya, D. Aulicino, P. W. Hooper

В следующей работе эти же авторы вместе с еще одним коллегой удалось расклассифицировать все такие траектории. Оказалось, что их существует бесконечное множество — и что они делятся на 31 класс эквивалентности. На представителей всех этих классов можно посмотреть тут.

Вопрос о таких путях связан с общей теорией трансляционных поверхностей (также называемых очень плоскими). Такие поверхности получаются из одного или нескольких многоугольников на плоскости, стороны которых разбиты на пары равных и параллельных, и каждая пара сторон которых склеена по совмещающему их параллельному переносу. Простейший пример такой поверхности — тор, и наверняка многим известны видеоигры, где игровые персонажи, покидая экран через одну сторону, сразу же возвращаются обратно с другой.

Путешествие «через край света» Виктор Клепцын

Теория таких поверхностей (и связанные с ними вопросы) оказывается очень глубокой — можно вспомнить работы лауреатов премии Филдса Мариам Мирзахани, Максима Концевича, Курта МакМюллена, Жана-Кристофа Йоккоза, лауреата премии Breakthrough Prize Алекса Эскина, Антона Зорича, и многих других.

Они оказываются связаны как с биллиардами в многоугольниках (о них недавно писал N + 1), так и с комплексным анализом и пространствами Тейхмюллера. Можно вспомнить задачу о «запутывании ветра в деревьях» и подход к ней через коцикл Концевича–Зорича, можно вспомнить «теорему о волшебной палочке» Эскина–Мирзахани. В общем, получающаяся область вовсе не так проста, как может показаться на первый взгляд.

Но вернемся к исходной задаче. Для описания пути по додекаэдру авторы взяли трансляционную поверхность, которая получается, если на плоскости разместить каждую грань в каждом из возможных положений, в котором она может оказаться при «перекатывании» фигуры. Эти грани объединяются в 10 поворотов одной развертки додекаэдра — с отождествленными соответствующим образом оставшимися сторонами.

След от перекатывания додекаэдра по плоскости: отпечатки всех граней во всех возможных ориентациях. J. Athreya, D. Aulicino, P. W. Hooper

Получающаяся поверхность огромна: топологически это сфера с 81 ручкой. На ней 20 вершин, которые соответствуют 20 вершинам додекаэдра. В каждой из этих вершин сходятся 30 пятиугольников, образующих «конические особенности»: полный угол отличен от 360° — правда, в бó‎льшую, а не меньшую, как в вершине обычного конуса, сторону. Однако — и в этом сила этого подхода — геодезические линии на ней становятся просто прямыми — продолжающимися сквозь «склеенные» пары сторон.

Кроме того, есть гораздо более «ручная» трансляционная поверхность Π5 — «двойной пятиугольник», получающаяся всего из двух пятиугольников: одного вершиной вверх, другого вниз.

Виктор Клепцын

И из огромной поверхности S в Π5 есть простое отображение («разветвленное накрытие»): все пятиугольники из S параллельно переносятся на пятиугольник Π5 той же ориентации (вершиной вверх/вниз). Такое отображение сопоставляет любому пути из вершины в вершину (не обязательно ту же самую) на S путь из вершины в вершину на Π5.

Виктор Клепцын

Правда, по пути на двойном пятиугольнике (да и на додекаэдре) не очень просто сказать, соответствует ли он пути на S, идущем из вершины в ту же самую вершину.

Далее к трансляционной поверхности можно применять аффинные преобразования плоскости — такие, как «скашивающее» преобразование (x, y) → (x+y, y). Они переводят прямые в прямые, поэтому прямому пути на исходной трансляционной поверхности соответствует прямой путь на поверхности-образе. Иногда исходная поверхность переходит в себя, как тор, полученный из квадрата, на рисунке ниже.

Виктор Клепцын

Более того, некоторые трансляционные поверхности «достаточно симметричны», чтобы преобразований, переводящих их в себя, было бы «много». И — что самое важное для этой задачи — чтобы применение таких преобразований позволяло «упрощать» геодезические линии на них. Так последовательными преобразованиями (x,y) → (x±y,y) и (x,y) → (x,y±x) любая замкнутая геодезическая на квадрате переводится просто в геодезическую линию вдоль ребра.

Виктор Клепцын

А упрощение замкнутых геодезических линий на двойном пятиугольнике Π5 можно посмотреть на видео, выигравшем в 2012 году конкурс «Станцуй свою диссертацию» в разделе математики и физики. Его снимала Диана Дэвис, один из авторов работы, где был исследован случай тетраэдра и куба.

На двойном пятиугольнике любая геодезическая линия из вершины в вершину упрощается до либо ребра, либо диагонали одного из пятиугольников:

Виктор Клепцын

Правда, не любое преобразование нашего двойного пятиугольника соответствует преобразованию, сохраняющему всю огромную поверхность S. Однако «поднимающихся» на S преобразований двойного пятиугольника Π5 «много»: они образуют подгруппу конечного индекса (а именно, индекса 2106). Это значит, что любое преобразование Π5 разбивается в композицию одного из 2106 фиксированных преобразований (о которых можно думать, как об «остатках») и преобразования, «поднимающегося» на S.

Поэтому любой путь из вершины в вершину на S может быть переведен (преобразованием S) в один из конечного числа путей, проецирующихся в 2106 вариантов образов σ и σ1 на Π5. Это сводит задачу описания всех путей на додекаэдре к конечному перебору: для каждого образа σ или σ1 на Π5 нужно проверить, «поднимается» ли он до пути, соединяющего одну и ту же вершину на S и, тем самым, на додекаэдре.

Это большая работа — как и аккуратный учет того, какие из получающихся путей совмещаются вращением додекаэдра. Но ее в принципе уже можно сделать, просто поручив этот конечный перебор компьютеру.

Я закончу этот текст комментарием Антона Зорича: «Двадцать лет этот вопрос был совершенно вне досягаемости; десять лет назад он бы потребовал огромных усилий по написанию (тогда не существовавших) программ. Теперь эти программы, написанные Вансаном Делекруа, Самюэлем Лельевром, Шарлем Фужероном и другими специалистами в этой области — существуют и доступны всем желающим, как часть открытой и бурно развивающейся математической системы SAGE. Так что все факторы сошлись вместе!»

Виктор Клепцын

Как сделать объемные геометрические фигуры из бумаги (схемы, шаблоны)?

Вот несколько схем, по которым можно изготовить объёмные геометрические фигуры. Самая простая — тетраэдр.

Чуть сложнее будет изготовить октаэдр.

А вот эта объёмная фигура — додекаэдр.

Читайте также:  Как сделать закладку для книг: идеи, материалы, рекомендации

Ещё одна — икосаэдр.

Более подробно об изготовлении объёмных фигур можно посмотреть здесь.

Вот так выглядят объёмные фигуры не в собранном виде:

А вот так выглядят уже готовые:

Из объёмных геометрических фигур можно сделать много оригинальных поделок, в том числе и упаковки для подарка.

Чтобы дети лучше запомнили, какие бывают геометрические фигуры, и знали, как они называются, можно из плотной бумаги или картона сделать объемные геометрические фигуры. Кстати, на основе их можно изготовить красивую подарочную упаковку.

  • плотная бумага, либо картон (лучше цветные);
  • линейка;
  • карандаш;
  • ножницы;
  • клей (лучше ПВА).

Самое сложное — это разработать и начертить развёртки, нужны хотя бы базовые знания черчения. Можно взять и готовые развёртки и распечатать на принтере.

Чтобы линия сгиба была ровной и острой, можно воспользоваться тупой иглой и металлической линейкой. При проведении линии иголку нужно сильно нагнуть в направлении движения, практически положив её набок.

Это развертка трехгранной пирамиды

Читайте также:  Как легко нарисовать корову карандашом поэтапно – для детей и взрослых

Это развертка куба

Это развертка октаэдра (четырехгранной пирамиды)

Это развертка додекаэдра

Это развертка икосаэдра

Вот здесь можно найти шаблоны более сложных фигур (Платоновы Тела, Архимедовы тела, многогранники, полиэдры, разные виды пирамид и призм, простые и косые бумажные модели).

Кстати, чтобы рассчитать параметры пирамиды, можно воспользоваться вот этой программой.

Самостоятельно смастерив из бумаги объёмные фигуры можно не только использовать их для развлечения, но и для обучения.

К примеру, можно наглядно показать ребёнку как выглядит та или иная фигура, дать её подержать в руках.

Либо можно с целью обучения распечатать схемы со специальными обозначениями.

Так предлагаю ниже ознакомиться со семой додекаэдра, как простой, так и с небольшими рисунками, которые только привлекут внимание малыша и обучение сделают более весёлым и занимательным.

Читайте также:  Гвоздики из бумаги своими руками: пошагово мастер-классы, схемы и шаблоны

Также схему куба можно использовать для обучения цифрам.

Схема пирамиды может помочь усвоить формулы, которые относятся к данной фигуре.

Кроме того, предлагаю ознакомиться со схемой октаэдра.

Схема тетраэдра помимо прочего поможет изучить цвета.

Как вы поняли, вышеприведённые шаблоны необходимо распечатать, вырезать, согнуть по линиям, склеить по специальным узким полосочкам, прилегающим к избранным сторонам.

Прежде чем начать делать объемные геометрические фигуры, нужно представить (или знать как выглядит) фигуру в 3D измерении: сколько граней имеет та или иная фигура.

Сначала необходимо правильно начертить на бумаге фигуру по граням, которые должны быть соединены между собой. У каждой фигуры грани имеют определенную форму: квадрат, треугольник, прямоугольник, ромб, шестиугольник, круг и т.д.

Играем с сортером

Примерно в возрасте 1 года ребенок начинает замечать, что выбранную им фигурку сортера (Озон , Лабиринт , My-shop ) можно протолкнуть далеко не в каждое отверстие. Поэтому во время игры необходимо акцентировать на этом внимание: «Так, вот у нас круг – сюда он не подходит, сюда не подходит, а куда же подходит?». Поначалу повернуть фигуру под правильным углом малышу может быть тяжеловато, но это не страшно, это вопрос практики. Главное, не забывайте вовремя увлекательного процесса «проталкивания» все время произносить названия фигур, и ребенок незаметно их все запомнит.

Важно! При выборе сортера обратите внимание на то, чтобы там были представлены все основные геометрические фигуры, а не только сердечки и полумесяцы.

Пирамида — развертка. Развертка пирамиды для склеивания. Развертки из бумаги

Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие – геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида — это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.

Видео. Вращение всех правильных многогранников

Популярное

Подарок школьнику за 150 рублей Найти подарок для школьника, который будет интересным, полезным, а также не разорит семейный бюджет – возможно ли такое в 2021 году? Рассказываем, чем можно…

Люстра из многогранника

Подвесной потолочный светильник или по-простому – люстра, ещё никогда не был так близок к точным математическим формам.

Многогранники для Новогодней сказки

Сделать новогодний праздник красивым и необычным, чтобы дети видели в нём сказку, а гости восхищались, можно только своими руками. Бумажные многогранники –…

Почему бумага может быть такой прочной?

Почему бумага? Иногда приходится слышать вопрос: «Почему вы выбрали для сборки многогранников такой материал как бумага (или точнее дизайнерский картон)? Это же…

Определение параметров

Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной треугольной пирамиды.

Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран равносторонний треугольник. Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды – это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.

Оригами додекаэдр

Одной из простейших бумажных кусудам считается додекаэдр-оригами. Но это не значит, что он выглядит неэффектно, особенно когда речь идёт о звёздчатой разновидности. Декоративный многогранник, подобно другим своим родственникам – кусудамам, отлично подходит для праздничного украшения помещений или в качестве оригинального подарка. Мини-додекаэдры можно использовать как модные украшения, сделав из них серьги или кулон.

Как выполняется развертка правильной пирамиды?

Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. Правильная пирамида имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае – это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры.

Читайте также:  Нежные цветы сделанные своими руками — отличный подарок для мамы

Развертка четырехугольной пирамиды

Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра — треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.

Математические характеристики додекаэдра

Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.

Радиус описанной сферы додекаэдра

где a – длина стороны.

Сфера может быть вписана внутрь додекаэдра.

Радиус вписанной сферы додекаэдра

Площадь поверхности додекаэдра.

Для наглядности площадь поверхности додекаэдра можно представить в виде площади развёртки.

Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон додекаэдра (это площадь правильного пятиугольника) умноженной на 12. Либо воспользоваться формулой:

Объем додекаэдра определяется по следующей формуле:

Построение чертежа

Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями — подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим окружность, радиусом которой будет измеренное расстояние.

Следующий этап – это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники – квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.

Сложный параллелепипед

Параллелепипед — сложная фигура многогранник, у которого 6 граней и каждая из них параллелограмм.

Чтобы сделать параллелепипед техникой оригами, нужно начертить основание — параллелограмм любого размера. С каждой его стороны нарисовать боковые стороны — тоже параллелограммы. Далее от любой из боковых сторон дорисовать второе основание. Добавить места для склеивания. Параллелепипед может быть прямоугольным, если все стороны имеют прямые углы. Затем вырезать развертку и склеить. Готово!

Развёртки геометрических фигур

Большой выбор развёрток простых геометрических фигур.

Первое знакомство детей с бумажным моделированием всегда начинается с простых геометрических фигур, таких как кубик и пирамида. Не у многих получается склеить кубик с первого раза, иногда требуется несколько дней, чтобы сделать поистине ровный и безупречный куб. Более сложные фигуры цилиндр и конус требуют в несколько раз больше усилий нежели простой кубик. Если вы не умеете аккуратно клеить геометрические фигуры, значит и за сложные модели вам ещё рано браться. Займитесь сами и научите своих детей клеть эти «азы» моделирования по готовым развёрткам.

Для начала я, конечно же, предлагаю научиться клеить обычный кубик. Развёртки сделаны для двух кубиков, большого и маленького. Более сложной фигурой является маленький кубик потому, как клеить его сложнее, чем большой.

Итак, начнём! Скачайте развёртки всех фигур на пяти листах и распечатайте на плотной бумаге. Перед тем, как печатать и клеить геометрические фигуры обязательно ознакомьтесь со статьёй о том, как выбрать бумагу и как вообще правильно вырезать, сгибать и клеить бумагу.

Для более качественной печати советую использовать программу AutoCAD, и даю вам развёртки для этой программы, а также читайте, как распечатывать из автокада. Вырежьте развёртки кубиков с первого листа, по линиям сгиба обязательно проведите иголкой циркуля под железную линейку, чтобы бумага хорошо сгибалась. Теперь можно начинать клеить кубики.

Для экономии бумаги и на всякий пожарный я сделал несколько развёрток маленького кубика, мало ли вам захочется склеить не один кубик или что-то не получится с первого раза. Ещё одна несложная фигура это пирамида, её развёртки найдёте на втором листе. Подобные пирамиды стоили древние египтяне, правда не из бумаги и не таких маленьких размеров

Развертка додекаэдра очень интересно дополнит и украсит любой интерьер, как дома, так и в любом другом помещении, фигурка в форме объемной звездочки, сделанная по методике паперкрафт. Изделие гармонично смотрится в любом месте комнаты и не требует дополнительной специальной подготовки, чтобы ее собрать. Просто нужно складывать макет, следуя порядку, указанному в схеме развертки, и не пропустить ни одного цифрового обозначения. Бумага нужна плотная и однотонная, но готовую звезду можно разукрасить самостоятельно и нанести сверху слой эпоксидной смолы для долгой сохранности. Такая поделка додекаэдра будет смотреться очень оригинально и празднично. Создание: 2018 Автор: http://skrapbukings.ru Качество: Высокое Тип бумаги: Размер бумаги: А3 Ориентация: Макет страницы: Масштаб: Скачать инструкцию по сборке * Внимание, если не получается скачать с Сервера 1, скачивайте с Сервера 2 !

категория Бизнес / Другое

Вам понадобится

  • — шаблон (развертка) додекаэдра;
  • — линейка;
  • — ножницы или канцелярский нож;
  • — фломастер или маркер;
  • — клей;
  • — бумага или картон подходящей плотности;
  • — транспортир.

Инструкция

1 Распечатайте шаблон додекаэдра на принтере. Вырежьте фигуру из выкройки. Аккуратно загните места сгибов с помощью линейки и последовательно склейте. Наносить клей надо на В«лепесткиВ», которые скрепляются друг с другом, а не на всю грань додекаэдра. Чтобы готовая фигура выглядела привлекательно, cлегка продавите места сгибов тыльной стороной ножа, а погрешности, срезы или потертости закрасьте маркером или фломастером. 2 Если у вас нет принтера, изготовьте шаблон додекаэдра самостоятельно, с помощью транспортира. Начните с построения центрального пятиугольника. Чтобы правильно построить пятиугольник, помните, что угол между двумя его сторонами составляет 108°. 3 К каждой стороне получившейся фигуры пририсуйте по пятиугольнику тех же размеров. Всего должно получиться 6 пятиугольников — своеобразный цветок с лепестками. Проделайте то же самое еще раз, не забывая, что необходимо соединить В«лепесткиВ» двух В«цветковВ» по стороне. 4 Обязательно сделайте по сторонам небольшие припуски для смазывания их клеем. Затем вырежьте, согните места сгибов и склейте. По желанию можете обернуть додекаэдр в цветную бумагу, наклеив ее на фигуру, или раскрасить многогранник. 5 Если вы захотели склеить додекаэдр, а клея под рукой не оказалось, сделайте надрезы по линиям сгибов до середины сгиба против часовой или по часовой стрелке — так, как вам наиболее удобно. Затем просто вставьте стороны будущего додекаэдра по надрезанным граням друг в друга, они будут достаточно надежно держаться. 6 Еще один способ изготовить додекаэдр — сделать его макет в технике оригами. В качестве помощника используйте видео-инструкцию из интернета. Потребуется 30 листов бумаги, будет красивее, если использовать цветную бумагу. Возьмите один лист и сложите его пополам. Затем согните половинки листа еще пополам в обратные стороны, так, чтобы получилось три линии сгиба и фигура в виде веера. 7 После этого заверните каждую сторону под прямым углом, модуль сложите наискосок. То же самое сделайте с другими двумя листами. Эти три модуля — первая вершина додекаэдра. Из 27 листов сделайте оставшиеся модули по описанному выше принципу, вложите модули друг в друга. Получится эффектный додекаэдр-оригами. Обратите внимание Оптимальная плотность бумаги для изготовления додекаэдра — 220 г/м?. Более тонкая бумага мнется в процессе работы, а совсем толстая — ломается по сгибам. Полезный совет В процессе сборки додекаэдра-оригами закрепляйте модули скрепками или проклеивайте места соединения, так как они могут развернуться — устойчивой фигура становится только в конце изготовления. Внимание, только СЕГОДНЯ! ProGuruKak.ru В» Бизнес В» Другое В» Как склеить додекаэдрВсе видеоНовые видеоПопулярные видеоКатегории видео

Авто Видео-блоги ДТП, аварии Для маленьких Еда, напитки
Животные Закон и право Знаменитости Игры Искусство
Комедии Красота, мода Кулинария, рецепты Люди Мото
Музыка Мультфильмы Наука, технологии Новости Образование
Политика Праздники Приколы Природа Происшествия
Путешествия Развлечения Ржач Семья Сериалы
Спорт Стиль жизни ТВ передачи Танцы Технологии
Товары Ужасы Фильмы Шоу-бизнес Юмор

Главные новости В Верхней Салде сотрудники ГИБДД устанавливают обстоятельства ДТП, в результате которого пострадали два человека»>Госавтоинспекция ищет очевидцев!»>Салдинские инспекторы по делам несовершеннолетних усилят контроль за времяпрепровождением несовершеннолетних детей»>Салдинские полицейские раскрывают преступления, которые совершают жители Нижнего Тагила на территории Верхней и Нижней Салды»>Не переводите деньги неизвестным! Салдинцы влезают в долги, чтобы отправить деньги мошенникам»>На Урале мошенники грабят 20 человек в день. Свердловский главк МВД: не перечисляйте деньги и не берите кредиты по телефонному звонку»>Сотрудники ГИБДД выясняют обстоятельства ДТП на автодороге «г.Нижний Тагил – г.Нижняя Салда », в результате которого пострадал пешеход»>В домах, которые люди оставили из-за стихийного бедствия, орудуют мародёры»>Что делать, если вы столкнулись с коррупцией?»>Сотрудники полиции обеспечивают безопасность на территории затопления из-за подмыва дамбы»> Чем удобен онлайн-магазин книг»>Видеочат ru.videoclub.net — сервис для комфортного общения»>Киноа с вялеными томатами!»>КУРИНЫЕ РУЛЕТИКИ с вялеными томатами и ароматным соусом»>Котлетки из красной рыбы и рис со сладким чили!»>Ягодная крошка! Много ягод, мало сахара! Идеально летом!»>Ооочень Шоколадный пирог!»>Мясной хлеб из фарша индейки! Сочный и нежный!»>The Witcher 3: Wild Hunt Прохождение — Гнида Менге #33″>Торговое оборудование для магазинов»> Сдается 2х комнатная квартира»>Сдается 1-комнатная квартира»>Срочно сдам»>Куплю кабель, провод разных сечений, дорого!»>Куплю кабель, провод оптом с хранения»>Куплю кабель алюминиевый АВВГ, АПВБШВ, АПВПУ, АПвВнг LS,АПВБП с хранения, остатки с монтажа, любой объем, любой город. Дорого. Самовывоз»>Закупаем кабель Транскаб НППнг HF, ПВ1, ПВ3, ВВГ,КВВГ, ВБШВ, КГ-хл, АС, ААБл, ААШВ, АСБл, АСБ2л и другие, не в лом. Остатки с монтажа, невостребованный в производстве. Дорого.»>На постоянной основе закупаю кабель КВВГнг LS, КГ, Кг-хл, КУИН, КВИП, МКЭШ,МКЭКШВ, остатки с монтажа. Оптом. Любой регион. Дорого Самовывоз Расчет при»>Покупка акций ВСМПО-АВИСМА»>Вывод из запоя, кодирование, стационар, реабилитация зависимых.»> Фото РЫЖАЯ»>Фото Елена М»>Фото BravoFood»>Фото mosksank»>Фото Никуся»>Фото У Г»>Фото chistiackowai»>Фото salievahata»>Фото MisSad»>Фото Геннадий Наталья Ситчихины (Губанова)»> Кто и во что играет 24 мин. назад Мебельные ткани со всего мира 42 мин. назад Интимный совет 1 ч. 17 мин. назад Виниловая плитка для пола 1 ч. 18 мин. назад Казино 1 ч. 19 мин. назад Подскажите хорошее казино 1 ч. 20 мин. назад Казино 1 ч. 20 мин. назад Лучшие казино 1 ч. 21 мин. назад Квартира в новостройке 1 ч. 28 мин. назад Косметика для волос 1 ч. 54 мин. назад Последние комментарии Анна Волкова Как оказалось не такая-уж и простая стала задача: в кратчайшие сроки осуществить оптовые поставки товаров из Китая. У кого-то ст… 15 ч. 45 мин. назад Анна Волкова Как выяснилось не такая-уж и простая стала задача: в кратчайшие сроки осуществить выгодные оптовые поставки товаров из Китая. Гд… 15 ч. 52 мин. назад rom kov Это крайне невыгодно. 23% платить. Проще под 1% взять деньги в долг в Мосзайме. Мне друг рекомендовал позвонить по этому номеру… 7 июля 2021 г. 20:32:00 Анна Волкова Как оказалось не такая-уж и простая стала задача: максимально быстро выбрать правильного человека, который должен быть честным, … 6 июля 2021 г. 14:17:45 mednat64 В России только сотрудники ДПС хорошо работают, по сравнению с сотрудниками других силовых структур. Молодцы ребята! Желаю им уд… 4 июля 2021 г. 16:54:15 rom kov Обращаюсь за финансовой помощью в компанию Мосзайм https://mos-zaim.ru/. Она числится в реестре Центрального банка России, услов… 3 июля 2021 г. 20:51:50 Carona Давно знакома с техникой «Сократовский диалог». Она действительно рабочая, спасала не раз. Важно не идти на поводу у с… 20 июня 2021 г. 21:13:28 mednat64 antiislamofob000333@gmail.com, это не сказка. Так и было. Езжайте в это село в Чечне и проверьте. Можете ещё видео мое послушать… 20 июня 2021 г. 1:42:44 antiislamofob000333@gmail.com Честно не думаю что эта статья написана всерьез) 18 июня 2021 г. 23:43:09 antiislamofob000333@gmail.com Если честно, сказка совсем не правдоподобная. Какое платье посреди войны? Что за идиотские выдумки?… 18 июня 2021 г. 23:24:34

Оцените статью
Рейтинг автора
4,8
Материал подготовил
Максим Коновалов
Наш эксперт
Написано статей
127
А как считаете Вы?
Напишите в комментариях, что вы думаете – согласны
ли со статьей или есть что добавить?
Добавить комментарий